Det Gyldne Snitt

31/03/2006

Beklageligvis har dannelsesbiten av bloggen blitt hengende etter litt i det siste. Denne artikkelen handler om det gyldne snitt som jo er veldig fascinerende. Hadde tenkt å skrive den sjøl, men mens jeg lette etter stoff kom jeg over en norsk artikkel som var så bra at jeg ba om tillatelse fra forfatteren til å gjengi den her i bloggen min...

 

DET GYLDNE SNITT 1,618...

Steinar Thorvaldsen

Det gylne snitt er en underlig forhold vi ofte finner i geometrien og naturen. Allerede Euklid omtaler dette forholdet i sin bok II og VI. Sammenhengen kan brukes til å kombinere ulike fagområder som matematikk, arkitektur, billedkunst og biologi.
Det gylne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.

Matematisk kan dette uttrykkes slik: Hvis linjestykket AC er delt i et punkt B slik at

(a+b)/a = a/b
sies B å dele AC i det gylne snitt
gsnitt.gif

 

Dersom vi setter linjestykket (a+b) lik 1 og den lengste delen av det (a) lik x, blir den korteste delen (b) lik 1 - x. Settes dette inn i likningen over, og multipliseres begge sider med x(1-x), får vi følgende annengradslikning:

x ² + x - 1 =0
Løser vi denne likningen og ser bort den negativ løsning, får vi:
x = (-1 +)/2
Det gir for det gylne snitt: (a+b)/a = 1/x = ( 1 +)/2 = 1,618034...
Tar vi det inverse av dette tallet får vi: 0,618034... Merk at alle desimalene her er de samme.
Leonardo da Vinci (1452-1519) åpnet en av sine bøker med følgende utsagn: "La ingen som ikke er matematiker lese mitt arbeid!" Denne spissformuleringen viser kunstnerens interesse for matematikkfaget. Ved siden av å interessere seg for geometri, studerte han menneskekroppen meget inngående. Han fant mange forhold på menneskekroppen som, ifølge ham selv, burde være lik det gylne snitt for at det skulle være en perfekt kropp. Da Vinci hevdet at forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp bør være lik det gylne snitt. Det betyr at en person på 150 cm, skal ha en navlehøyde på ca 93 cm. Dette kan skape mye moro og sterk motivasjon hos elevene, både til målinger og evt. løsning av likninger på høyere klassetrinn.

Lærere har etter slike timer opplevd at elever hevder med stor overbevisning at deres kropper, som kanskje er både butte og stutte, er langt mer "perfekt" enn de syltynne reklamemodellenes kropper med alt for lange bein!

Femkantstjerna kalles gjerne pentagrammet. Den avbildes gjerne inne i en sirkel, og gir oss en estetisk følelse av balanse og harmoni. I en regulær femkant finnes også det gylne snitt som forholdet mellom diagonalen og siden. Det var dette som var Euklids motiv.

pentagram.png

Det gylne snitt finnes igjen i mange sammenhenger i arkitektur, kunst og billedkunst. Et gyllent rektangel er et rektangel der forholdet mellom den lengste og korteste siden er tilnærmet lik 1,62. Hvis man ber en gruppe elever finne hvilket av rektanglene under som er "penest" eller mest harmonisk, så vil vanligvis rektangel g være det foretrukne. Nabofigurene f og h vil også skåre høyt i en slik statistisk undersøkelse. Her er det figur g som er et gyllent rektangel, mens f har forholdstall 1,5 og h 1,7. I utformingen av bygninger, gårdsanlegg og tun har det gylne snitt ofte vært et bærende konstruksjonsprinsipp helt opp mot slutten av 1800-tallet. Da overtok andre prinsipper i arkitekturen, men fotografer og designere tenker fortsatt på det gylne snitt når de skal komponere bildene sine. Et fotografi blir adri pent hvis man lar f.eks. lar horisonten komme midt på bildet.

rammevalg.gif





 

 

 

 

 

En av verdens mest kjente tallrekker kalles Fibonacci-tallene og er slik:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .....
De har fått navn etter Leonardo av Pisa (1170-1240) som gjerne også kalles Fibonacci som igjen er en forkortelse for Filius Bonacci eller sønn av Bonacci. Rekken stammer fra boka "Liber abbaci". Det Fibonacci gjorde var å lage et tenkt kaninforsøk der han starter med to kaniner som får to unger hver måned. Men alt avkommet får også to unger fra de er en måned gamle (en av hvert kjønn). Slik får vi flere og flere kaninpar, og hvert ledd i rekka framkommer som summen av de to foregående ledd.


Hvis vi nå regner ut forholdet mellom to etterfølgende tall, finner vi dette:

2/1= 2,00 3/2=1,50 5/3=1,67 8/5=1,60 13/8=1,63 21/13=1,615 34/21=1,619 55/34=1,617 ...
Forholdstallet ser altså ut til å nærme seg det gylne snitt, noe som også viser seg å kunne bevises når Fibonacci-tallene går mot uendelig.
Noe av det mest spennende og forunderlige med Fibonacci-tallene er at vi også kan finne igjen disse tallene i biologien. Når vi ser inn mot blomsten i en solsikke ser det ut som det stråler spiraler ut fra sentrum. Det samme gjelder for en kongle og for en ananasfrukt, der spiralene sprer seg ut fra stilken. På vår mer hjemlige løvetann er det verre å se spiralstrukturen når den står i full blomst, men plukker vi av de gule kronbladene, ser vi tydelige spiraler i vekstområdet. Disse spiralene går henholdsvis mot venstre og mot høyre. Dersom vi teller spiralene som går mot høyre, og deretter de som går mot venstre, vil vi finne ut at antallet er forskjellig og lik to etterfølgende Fibonacci-tall. På konglen under er tallene henholdsvis 13 og 8, og på solsikken 34 og 21:

På et innsamlet materiale med 281 kongler var det bare 5 som ikke tilhørte Fibonacci-tallene. Ved å telle kronbladene på prestekrager, skal det på samme måte være mulig å finne opphopning rundt Fibonacci-tall, men jeg har ikke noe statistisk materiale som kan dokumentere dette.

Lenge har man lurt på hvilke lover som lå bak naturens preferanse for Fibonacci-tall. På 1970-tallet fant botanikerne nærmere ut av systemet for celledeling i vekstsonen hos blomsterskudd. Denne celledelingen skjer nemlig ikke vilkårlig, men følger et spesielt mønster. Knoppskytningen skjer så og si alltid i en bestemt vinkel i forhold til den sektoren der forrige knoppskytning skjedde. Denne vinkelen ble bestemt til å være 222,5 grader, og var stort sett konstant fra celle til celle etter hvert som planten vokste. Ser vi nærmere på denne vinkelen, finner vi: 222,5/360= 0,62
som er meget nær det gylne snitt. Vinkelen kalles gjerne den gylne vinkel. Dette matematiske regelverk som mange planter bruker, er altså i samsvar med det gylne snitt og framkommer i kombinasjonen mellom plantenes genetikk og de omliggende randbetingelser.
Matematikere har også studert hvordan frøene bør pakkes for å oppnå optimal komprimering innen en sirkulær rand med minst mulig glippe mellom dem. Hvis vi lar frøene være representert som små skiver, er løsningen på dette er at frøene da må plasseres i spiraler med påfølgende rotasjonsvinkel på nettopp 222,5 grader, dvs med 0,62 omdreininger per nytt frø. Dette ble vist matematisk av franskmennene Douady og Couder i 1993. Dette var også den eneste plassering som ga bilde av spiraler som gikk i begge retninger. I referanselisten til slutt i denne artikkelen kan man finne simuleringer på Internett av ulike vekstmønstere, og hvordan den gylne rotasjonsvinkelen gir det optimale design. Bildene nedenfor viser at små avvik fra den gylne vinkel gjør at det dobbelte spiralmønsteret forsvinner:

spiraler.gif
 

 

 

 

 

 

 

© Steinar Thorvaldsen - gjengitt med tillatelse